예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.
저번 포스팅에서 좌표계의 필요성과 관성계 비관성계의 차이를 알아보았습니다. 그렇다면 오늘은 좌표변환이라는 개념을 알아보겠습니다.
좌표변환이란 무엇일까요?
좌표를 변환한다… 좌표를 우리가 운동하는 대상을 편리하게 서술하기 위한 도구라고 했었으니 이를 변환한다는 것은 이 기준을 바꾼다는 뜻이 됩니다.
그럼 이러한 좌표변환을 왜 쓸까요?
간단하게 예를 들어보죠. 회전하는 물체가 있을 때 이 회전하는 물체는 저번 시간에 말했듯이 우리가 보는 관찰자 입장에서 이 운동을 서술하기에는 조금 복잡해집니다. 하지만, 회전하는 대상의 기준에서 운동을 서술하면 조금 더 쉬워질 겁니다.
혹은 똑같은 속도로 달리는 버스를 생각해봅시다. 저와 여러분은 버스를 탑승했고 저는 자리에 앉았습니다. 같은 버스를 탑승한 여러분은 저와의 거리가 얼마인지 쉽게 설명할 수 있습니다.
한편 제가 버스를 탑승했지만 여러분들은 버스를 놓쳤다고 합시다. 버스가 달리는 것을 보고 있던 여러분은 버스에 앉아있는 저를 설명하기 위해 버스가 얼마로 가고 있다고 말해야 합니다.
하나의 (관계)식이 늘어났죠. 이러하듯 좌표변환은 우리가 보는 대상의 운동은 관찰자의 시점이 바뀐다고 바뀌는 것이 아니므로 그 운동에 대응하는 변화가 좌표변환에 적용돼야 합니다.
이때 대상이 관성계에서 관성계로 변환하는 등속도의 상황이 있을 때 이러한 변환을 갈릴레이 변환이라고 합니다.
갈릴레이 변환은 대상이 등속도로 움직일 때 그 대상의 기준으로 대상에 붙어있는 계와 관찰자의 시점에 붙어있는 계 사이의 관계를 나타냅니다. 즉, t=0인 상황에서는 두 좌표계가 같고 시간이 지나더라도 v의 등속도에 의한 차이만 존재할 뿐 두 좌표계에서 바라보는 물리는 변하지 않습니다.
한편, 만약 버스가 가속을 하고 있다면 우리 몸이 뒤로 쏠리는 것처럼 관성력이 작용하며, 이때는 관성계가 아닌 비관성계로 갈릴레이 변환을 적용할 수 없습니다. 그래서 우리는 등속도인 상황만 보겠습니다.
우선 1차원을 기준으로 구해보면 다음과 같습니다. 거리=속도*시간이고 시간(t)은 좌표계간 변화없이 똑같이 흐릅니다.
X’계는 X계로부터 t시간 후 vt만큼 멀이지게 되니까 X’에서 본 대상은 X계가 본 위치에서 vt만큼 빼준값이 됩니다. 직관적으로 생각해봅시다.
X계에 정지한 누군가와 X’계에 누군가가 서로 전화를 하고 있다고 생각해보세요. 그리고 저는 달리는 버스안에 탑승했고 이 버스는 50m/s의 등속도로 x계를 기준으로 멀어지는 방향으로 달립니다. 저는 뒤에서 두번째 자리에 앉아있고 통화를 하면서 저의 위치를 설명한다고 합시다. 그럼 먼저 X계에 서있는 누군가가 저의 위치를 설명합니다. 그러니까 저는 50m/s로 멀어지는 버스안에서 뒤에서 두번째 자리에 앉아있어! 라고 말할 수 있습니다. 맞죠? 한편, 같은 버스안에 탑승한 통화하고 있던 대상은 이렇게 말합니다. 음… 내눈에는 말이지… 뒤에서 두번째 자리에 앉아있는 너가 보여! 라고 말이죠.
즉, 같은 계(X’) 계에 있는 대상입장에서는 X계에서 설명한 위치 값에서 vt만큼의 이동한 값을 빼주면 될 겁니다.
이러한 결과는 반대의 상황에서도 통합니다. 이번에는 제가 달리는 버스 안이 아니라 내렸다고 합시다. 그럼 어떻게 설명할 수 있을까요? 똑같습니다. X’계 입장이 X계라고 생각하며 X계가 반대방향으로 간다고 생각하면 됩니다. 이렇게 생각하면 다음과 같이 나오게 됩니다.
즉, 결론은 좌표를 변환하는 것은 상대적인 표현일뿐이다.
이러한 결과를 3차원 공간에서 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
위 식에서 A‘계에서 발생한 사건과 A계에서 발생한 사건이 일정한 관계가 있음을 어떠한 행렬로 설명합니다. 이 행렬을 갈릴레이 변환행렬이라고 하며 우리가 사는 모든 고전 상황에서는 이 변환 행렬을 사용할 수 있습니다.
다만, 특수상대론에서는 이 변환관계를 사용할 수 없습니다.
그럼 왜 이렇게 열심히 설명했냐구요?
다 쓸모가 있습니다..!!
특수상대론에서 사용하는 로렌츠 변환행렬은 이 갈릴레이 변환행렬을 수정하여 적용하기 때문입니다. 그래서 알아야만하죠.
그럼 왜 이 갈릴레이 변환을 사용할 수 없을까요?
자, 우리 모두가 아는 사실이 하나 있습니다. 빛의 속도는 ? 일정하다 입니다. 30만km/s로 말이죠. 빛은 이보다 빠를 수는 없습니다. 이것은 사실 아주 크나큰 화제거리였습니다. 뉴턴시대만 하더라도 빛의 속도는 일정하다고 생각을 못했었고 나중에 여러 실험들로부터 빛의 속도가 일정하다는 것이 증명되었습니다. 이내용은 다음시간에 다루도록 하겠습니다.
다시 본론으로 들어와 빛은 30만km/s를 넘을 수 없습니다. 그래서 갈릴레이 변환은 치명적인 문제점이 발생합니다.
관성계에서 관성계로의 변환일 때 각각의 관성계에서는 우리가 아는 물리법칙이 똑같이 적용이 되어야 합니다. 그런데 예를 들어 20만km/s로 멀어지는 우주선이 있다고 합시다. 그리고 다시 이 우주선에서 20만km/s의 속도로 미사일을 발사했다고 가정해봅시다.
갈릴레이변환은 상대적이니까 정지한 사람입장에서 본다면 두개의 속도를 합산한 결과로 멀어져야 할 겁니다.
그럼 지구에서 이 미사일을 관측하면 갈릴레이 변환을 따라가면 40만km/s의 속도로 멀어져야 합니다.
그런데 30만km/s의 속도를 넘을 수 있을까요? 이것은 불가능합니다.
따라서 만약 속도가 일정 속도 이상 올라가면 갈릴레이 변환을 사용할 수 없음을 알 수 있습니다.
그래서 우리는 새로운 변환을 도입할 겁니다.
그러나 이 도입을 소개하기 전에 어떻게 빛의 속도가 불변인 것인지 잠시 알아보고 넘어가도록 하겠습니다.
예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.
특수상대성이론에 대해 소개하기 앞서 오늘은 좌표계에 대해서 소개해드릴까 합니다.
여러분은 좌표라고 하면 어떤 것부터 떠오르시나요? 지도의 위도 경도 이런 것이 떠오르나요?
우리의 삶은 어떻게 보면 좌표로 규정된 삶에서 살아가고 있습니다. 배달음식을 시킬 때 좌표값(주소)이 없다면 배달원과 20고개를 해야 할지도 모릅니다. 또한 운송분야는 상당히 다루기 어려운 분야가 될 겁니다. 이뿐만이 아닙니다. 항공기의 이용이 어려울 것이며 인공위성을 사용한 여러 편의 기능도 불가능합니다.
이처럼 좌표라는 것은 우리의 삶에 있어 중요한 도구입니다.
이러한 좌표계는 우리의 일상생활 속에서는 좌로 얼마 우로 얼마 높이 얼마와 같이 직사각형 모양의 계(공간)로 정의합니다. 우리의 눈에 보이고 이를 아주 쉽게 정의할 수 있기 때문이죠.
하지만, 우리가 사는 공간이 어항 속의 물고기처럼 둥그런 세상이라면 어떨까요? 우리 앞으로 펼쳐지는 세상은 구형이며 직각으로 이루어진 직사각형모양의 직각좌표계로는 설명하는데 힘이 들겁니다. 물론 사용은 가능하겠지만 여기서 세워지는 운동방정식과 법칙들은 복잡해 보일 수 있습니다.
이러한 상황에서는 구 좌표계와 같은 그 공간에 맞는 좌표계를 사용합니다. 실제 지구의 크기에서는 지구는 공 모양이며 지구와 인공위성과의 관계를 나타날 때는 구좌표계가 훨씬 편리할 겁니다.
즉, 제가 하고싶은 말은 좌표계라는 것은 우리가 어떠한 운동을 설명하기 위해 아주 편리한 도구라는 겁니다.
그래서 보통 사용되는 좌표계는 우리의 일상생활속에서 사용하는 직각좌표계와 구형의 공간에서 사용되는 구좌표계 그리고 원통의 공간에서 사용하는 원통 좌표계가 대표적입니다.
그런데 제가 오늘 소개할 내용은 이러한 좌표계가 아닙니다. 특수상대성이론에서의 관심은 좌표계가 관성계이냐 아니냐이기 때문입니다.
적어도 한번쯤은 뉴턴의 법칙은 들어보셨다고 생각합니다. F=ma와 같은 공식 말이죠.
뉴턴의 법칙은 총 3가지 법칙이 있습니다. 제 1 법칙 : 관성의 법칙 물체에 외부 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 움직인다. ->열심히 달리던 사람이 돌부리에 걸려 넘어지는 이유가 이 법칙입니다.
제 2 법칙 : 가속도의 법칙 아까 위에 적은 식 F=ma가 이 가속도의 법칙입니다.
제 3 법칙 : 작용 반작용의 법칙 ->얼음위에서 서로 밀면 각각 밀리는 이유입니다.
이러한 뉴턴의 법칙 중 제 1 법칙인 관성의 법칙이 성립하는 좌표계를 관성 좌표계라 합니다. 즉, 등속도 운동을 하는 좌표계를 말합니다. 반면 비관성계는 가속운동을 하는 계를 말합니다. 그래서 자유낙하를 하고 있는 엘리베이터나 현재 우리가 살고 있는 지구는 비관성계입니다. 가속운동을 하고 있기 때문이죠.
오늘 소개한 이 관성계와 비관성계는 앞으로 소개하는 상대론에서 사용될 개념입니다. 특수상대론에서는 관성계를 다룰 것이고 일반상대성이론에서는 비관성계에서의 상대론을 다루는데 우리는 특수상대론을 다룰 것이니 앞으로 관성계에서의 운동을 다룹니다.
그리고 다음 시간에 다루겠지만 좌표변환이라는 개념이 있습니다. 좌표를 변환한다… 우선 왜라는 질문부터 나올 겁니다.
