공부하고 정리하고

예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.

갈릴레이 좌표변환에 대해 저번 시간에 소개했습니다.
운동하는 대상의 관성계와 관측자의 관성계의 관계를 보여주는 관계식이었죠.

그런데 문제가 발생했었습니다.
만약 운동하는 대상인 우주선이 20만km/s로 움직이고 여기서 발사한 로켓이 또 우주선의 진행 방향과 같이 20만km/s라면 갈릴레이 변환에 의해 우리가 관측을 하게 되면 40만km의 로켓이 관측이 됩니다.
갈릴레이 변환이라면 말이죠.

그런데 빛의 속도가 일정하다고 이야기했었습니다.
30만km/s로 일정합니다.

그럼 40만km/s라는 값의 결과가 나오는 갈릴레이변환은 빛의 속도가 일정하다는 사실을 설명해주지 못하기 때문에 우리는 이 값을 설명해주는 좌표변환식을 구해야 합니다.
이 수정한 결과의 좌표변환이 로렌츠 좌표변환이며 지금부터 그 과정을 따라가 보도록 하겠습니다.

좌표변환을 위해 갈릴레이 변환을 우선 써봅시다.

이 변환 행렬에서 우리는 우선 하나의 가정을 합니다.
한 방향으로만 진행한다고 가정합니다.
이렇게 하는 이유는 임의의 방향으로 간다고 가정하면 계산하기에 복잡하고 한 방향으로 간다고 가정하고 구한 다음에 다른 방향까지 고려해도 되기 때문입니다.
그렇기에 하나의 방향인 x방향으로만 진행한다고 가정하고 변환 행렬이 어떻게 될지 구합니다.

그럼 위와 같은 식으로 될 겁니다. (y, z방향으로의 변화는 불변) (알파벳 순으로 a,b,e,d는 미지수 값이며 c가 아닌 e라고 표기한 것은 빛의 속도c와 표기가 헷갈릴 수 있어 e라고 표기합니다.)

왼쪽의 (t,x,y,z)‘의 좌표가 이동하는 계고 오른쪽의 (t,x,y,z)가 정지한 관측자의 계입니다.
(t,x,y,z)’을 A’ (t,x,y,z)을 A계라고 앞으로 표현하겠습니다.

그럼 문제를 풀기위해 필요한 초기조건을 생각해봅시다.

• 우리가 아는 값은 빛의 속도는 불변으로 c(30만km/s)로 일정하다.
• A계의 원점에 고정된 입자(대상)를 A’계에서 관측하면 음의 방향 속도 V로 움직이는 것으로 보일 것이다.(이것은 갈릴레이변환에서도 마찬가지임을 지난 포스팅에서 확인했습니다.)
• A’계의 속도 V가 갈릴레이변환에서 다루는 고전역학의 느린 속도로 근사하면 갈릴레이변환가 일치해야한다. (v=0 => a=1,b=e=0,d=1)

위 초기조건과 가정을 기억하고 저번 포스팅 때 다룬 world line을 다시 보겠습니다.

만약 A계에서의 빛의 World line이 위와 같다고 합시다.
이때 빛의 world line인 ct는 공간상에 퍼져나갑니다. 이 퍼져나가는 것을 x축과 θ(세타)의 각을 이루며 나아가고 이것을 θ(세타)에 대해 x,y로 성분을 분해하여 표시할 수 있습니다.

참고로 위에서 y, z 방향으로는 불변인데 왜 여기서 y방향을 고려하냐는 의문을 가질 수 있습니다. 이 부분은 헷갈리기 쉬운 부분으로 당연히 가질 수 있는 의문입니다.
하지만 명심해야 합니다.
위에서 좌표를 변환한다는 것은 하나의 계(A)에서 다른 계(A’)의 대상을 바라보는 경우 이동하는 대상의 계가 하나의 방향으로 이동한다는 겁니다.
그리고 그 계 안의 운동하는 대상은 어느 방향으로나 이동할 수 있습니다.
다시 말해서 우리가 기찻길에 서서 멀어지고 있는 기차를 보고 있다고 한다면 기차는 일정한 한 방향으로 멀어지지만 그 안에 사람들은 어떠한가요? 앞으로 이동할 수도 있고 뒤로 이동할 수도 있으면 왼쪽 자리에 앉았다가 오른쪽 자리에도 앉을 수 있습니다.
즉, 위에서 x, y방향으로 서술하는 것은 A계에서 바라본 빛이 x, y방향으로 퍼져나가는 world line을 본 것입니다.
그렇기에 하나의 방향으로 이동한다는 말은 관측에 따른 결과로 변환 행렬에 적용하기 위한 가정임을 기억하고 가야 합니다.

그럼 어느 한 시점의 t시간에서 A계의 좌표값은 (t,ct×cosθ, ct×sinθ)으로 빛의 공간상의 위치를 표현할 수 있습니다.
그렇다면 이때 이 A계에서의 빛을 A’계에서 본다면 다음과 같이 임의의 변환에 의해 A’에서 본 빛을 설명할 수 있습니다.

오른쪽 항을 계산하면 다음과 같습니다.

t=0일 때 A계와 A’계의 위치값은 동일하고 t초 후에는 다음과 같이 변할 것을 예측할 수 있습니다.

그렇다면 이 t초후에 A’계에서 바라본 빛의 world line은 다음과 같습니다.

그런데 A’계에서 바라본 ct’도 결국 앞서 본 A계에서의 ct와 같아야 합니다.
ct=ct’이라는 뜻입니다.
왜냐하면 ct라는 값은 속도와 시간의 곱으로 길이의 값입니다. 길이=시간*속도, 60km/h로 1시간을 달린다면 총 60km를 이동하는 것이죠.
그런데 이 이동 거리라는 값은 벡터값이 아닌 스칼라값입니다.
좌표변환을 하였다고 해서 스칼라값은 변하지 않습니다. A계에서 10m 짜리는 결국 A’계에서도 10m이어야 한다는 겁니다.

그래서 이것이 성립하기 위해서는 θ값에 상관없이 피타고라스 정리에 의해 다음의 식을 만족합니다.

예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.

저번 포스팅에서 빛의 속도가 일정함을 알아보았습니다.
오늘은 간략하게 빛이 만들어 내는 공간을 생각해보도록 하겠습니다.

흔히들 우리는 3차원 공간에서 살아간다고 말합니다.
3D의 세상에 사는 것이죠.
하지만, 엄밀히 말해서 우리가 사는 공간은 3차원 공간이 아닌 4차원 공간입니다.

여기서 말하는 차원이란 공간 내의 하나의 점을 표현하는데 필요한 축의 개수라고 생각하시면 됩니다.

쉽게 생각해서 도로를 달릴 때 앞차의 위치를 내 차에서 100m앞 뒤차의 위치를 내차에서 100m뒤 이런 식으로 직선상의 하나의 축만 필요하죠?
반면, 운동장에서 공을 뻥 찼다고 했을 때 순간적인 공의 위치는 앞으로 ~m 위로 ~m이런 식으로 직선상이 아닌 위아래로의 축도 필요합니다.

이런 이유로 한 차원이 더해질 때마다 우리는 서술하고자 하는 대상을 다차원적으로 서술하게 됩니다.

그래서 3차원의 경우는 3개의 축으로 설명이 되어 보통 (x,y,z)이런식의 좌표값으로 표현이 됩니다.

하지만, 4차원의 공간에 산다고 했었죠?
여기서 고려되는 또 하나의 다른 차원은 시간 차원입니다.

우리가 사는 세상은 절대적으로 시간이 일정하게 흘러가고 있습니다.
지금 이 순간에도 1초..2초..3초가 흘러가고 있으니깐요.
그렇기에 시간 차원까지 고려해주어야 합니다.

그렇다면 끊임없이 일정한 속도로 운동하고 있는 빛의 경우는 어떠할까요?
지금 이 순간에도 빛은 30만km..60만km.. 이동하고 있습니다.

이러한 빛이 만들어 내는 공간은 시간에 의해 결정된다고 말할 수 있습니다.

물론, 우리가 사는 공간도 시간에 의해 결정되지만 일정한 운동을 하지 않으니 매우 복잡할겁니다.

어쨌든, 빛의 입장에서 공간 s=c*t로 표현할 수 있습니다.

이러한 이유로 공간과 시간이 이루는 관계는 아래 그래프와도 같다고 볼 수 있습니다.

만약 이 world line이 공간 축과 겹치게 된다면 시간은 영원히 정지한 공간이 되게 되고 world line이 시간 축과 겹치게 된다면 시간이 영원히 흐르더라도 공간은 정의되지 않게 됩니다.

또한 이 world line은 하나의 시간에 두개의 공간이 있다던가 시간상의 거꾸로 흐른다던가 하는식의 위와 같은 모양은 나올 수가 없습니다.

시간은 항상 +방향으로만 흐르기 때문이죠.
이 world line을 쉽게 보자면 빛이 탄생해서 사리질 때까지의 모든 순간을 시간순으로 정렬해놓고 이것을 우리가 관찰하는데 어떠한 시간에 동시에 과거의 일과 현재의 일이 일어나지는 않겠죠?

물론, 같은 일이야 일어날 수 있겠지만 그것은 전혀 다른 사건이죠. 다른 시간에 일어난!
즉, 빛의 “앨범”을 시간의 축에서 쳐다본다고 생각하시면 되겠습니다.

이러한 world line은 상대성이론에서 매우 중요하게 사용됩니다.

당장 다음 포스팅부터 시작할 좌표변환의 수정과정에서 우리는 공간을 이 시간으로 정의되는 값으로 정의하게 되고 이것이 의미하는 것은 시간과 공간의 경계가 모호해지기 때문입니다.

그렇기에 앞으로 공간의 개념이 아닌 시공간의 개념으로 들어가도록 하겠습니다.

예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.

빛의 속도가 일정함을 저번 포스팅에서 실험적으로 알아냈음을 소개해드렸습니다.

오늘은 전자기학에서 어떻게 이 빛의 속도가 유도되었는지 알려드리겠습니다.

시작하기에 앞서 수식이 조금 많이 등장할 수 있다는 점 미리 말씀드립니다!!

사실, 처음에는 전자기학은 빛과 다르다고 사람들은 생각했었습니다.

전자기학에서 다루는 것은 파동이었고 빛은 입자냐 파동이냐는 논의가 있었으니깐요.

하지만, 전자기파는 곧 빛이고 빛은 곧 전자기파입니다.
그렇기에 전자기학에서 유도한 전자기파의 속도는 곧 빛의 속도임을 의미했습니다.

따라서 지금부터 전자기학에서 어떻게 전자기파의 속도를 구했는지 같이 알아보겠습니다.

우선, 파동방정식을 구해야 합니다.
파동방정식이라는 것은 파동함수가 만족하는 방정식입니다.

파동함수는 어떠한 공간에서 시간과 파의 높이로 설명이 되는 파동을 말합니다.
이러한 파동함수는 운동을 하게 된다면 물리법칙을 만족해야 하며 이를 만족하는 방정식이 파동방정식입니다.

그럼 어떠한 파동함수가 있을 때 이 파동함수가 일정한 속도로 움직인다고 합시다.
일정한 속도로 움직인다면 t만큼의 시간이 흘렀을 때의 파와 t만큼 시간의 전의 파는 vt만큼의 이동거리를 빼주면 정확히 일치하는 동일한 파입니다.

식으로 나타낸다면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.  (수필로 쓴 수식이라 보기가 조금 불편할 수 있어요ㅠ)

f(z,t)=g(z-vt,0)

위 식에서 알 수 있듯이 파동함수는 위치 값인 z와 시간 값인 t로 서술됩니다.
파동함수는 다음의 과정에 따라 파동방정식이 유도됩니다.
우선, z-vt를 u라는 임의의 값으로 두고 다음과 같이 z와 t에 대해서 각각 편미분 합니다.

그리고 한 번 더 미분을 해주면 다음과 같은 관계를 가짐을 알 수 있습니다.

여기서 나오는 이 관계가 파동방정식이며 양자역학과 전자기학에서 두루 쓰이는 중요한 식입니다.

더불어서 만약, 어떤 파동 함수가 있을 때 여기에 작용하는 net force를 기준으로 본다면 다음과 같이 파동방정식을 구할 수 있습니다.

처음 나타나는 그래프는 파동의 어떤 평형점을 기준으로 z가 변함에 따라 나타나는 알짜힘의 변화를 보여줍니다.

일부 부분을 보았을 때 그 부분에서 반대 부분으로 작용하는 장력이 존재할 것이고 세타가 매우 작으니까 sin과 tan값이 비슷해집니다.
그런데 tan값은 그 부위에서의 기울기이고 두 부위에서의 기울기 값을 빼는 변화량은 기울기의 변화량이니깐 f의 z에 대한 이계 도함수로 나타낼 수 있습니다.

또한 여기서 작용한 F는 뉴턴의 제 2법칙에 의해 F=ma로 나타낼 수 있습니다.
여기서 질량은 μ와 ∆z의 곱으로 나타내는데 μ값은 단위길이당 질량으로 ∆z를 곱하게 되면 전체 질량임을 알 수 있습니다.
또한 가속도 a는 파동함수를 시간에 대해 두번 미분한 값이므로 식의 값처럼 구하게 됩니다.
이러한 관계를 확인하면서 앞서 유도한 파동방정식이 파동식과 잘 맞아들어감을 알 수 있습니다.

그럼, 이번에는 전자기파를 기준으로 구해봅시다.

전자기학에서 가장 중요한 식이라 할 수 있는 맥스웰 방정식 4개가 있습니다. 해당 식은 진공이며 공간에 전하가 없을때의 맥스웰 방정식입니다.

모두 각각에 대해서 하나씩 가지는 의미가 많고 중요하기 때문에 설명할 이야기들이 많은 관계로 자세한 설명은 생략하고 각각의 기호가 가지는 뜻은 다음과 같습니다.

∇∙A는 divergence라고 하며 발산하는 정도를 말합니다. 즉, 위 식에서 이 발산하는게 0이라고 했으니 전기장과 자기장이 발산하는 값이 없다는 뜻입니다.

당연히 공간에 전하가 없으니 나아가는 전기장과 자기장은 없다는 것을 직감할 수 있습니다.
물론, 자기장은 원래 발산하지 않습니다.

한편, ∇×A는 curl이라하며 벡터의 회전하는 정도를 말합니다. 이 컬이라는 것의 결과는 각각에 수직한 전기장 혹은 자기장값의 변화량으로 구해집니다.

참고로, ∇×E의 관계가 페러데이 법칙, ∇×B의 관계가 암페어 법칙입니다.

어쨌든, 각각에 대해 위 그림에서와 같이 구하면 파동방정식꼴의 결과를 구할 수 있습니다.
그럼, 오른쪽항의 μ0, ε0는 속도와 관계되는 값임을 예상할 수 있습니다. (위에서 구한 파동방정식 식과 비교)

각각의 값들은 위의 상수값이므로 전지기파의 속도는 다음과 같이 30만km/s임을 알 수 있습니다.

이로서, 실험적으로 구한 빛의 속도와 이론적으로 구한 전지기파(빛)의 속도가 일치함을 확인하였습니다.

저번 포스팅과 이번 포스팅까지해서 빛의 속도와 불변성을 알아 보았습니다.
다음 포스팅에서는 갈릴레이 변환을 수정하는 과정에 대해 살펴 보겠습니다.

예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.

오늘 상대론 이야기를 계속 이어가도록 하겠습니다.

저번 포스팅에서 갈릴레이 좌표변환을 설명하면서 우리는 관성계와 관성계 사이의 변화를 다루는 특수상대론을 앞으로 다룬다고 예고했습니다.

그리고 빛의 속도는 절대 30만km/s보다 커질 수 없으며 항상 일정함을 이야기했었죠.

그런데 여기서 엄밀히 말한다면 빛의 속도가 항상 일정하다고만 말하면 틀린말이 될 수 있습니다.

앞에 한마디 더 붙여서 같은 매질에서는 속도가 일정하다고 해야 합니다.

즉, 매질이 변하면 다시 말해 진공에서 공기 속, 공기에서 물속, 혹은 공기에서 유리창을 투과하면서 속도는 줄어들게 됩니다.

우리가 말하는 30만km/s는 진공 속에서의 빛의 속도를 말하며 우주의 대부분이 실제 진공에 가깝기 때문에 우주 공간 속에서 빛은 거의 30만km/s로 일정합니다.

다시 본론으로 들어와, 왜 빛의 속도는 일정할까요?
이 질문에 대한 답은 전자기학으로부터 나옵니다.

그전에 오늘은 사람들의 빛의 속도를 알기 위한 노력들을 알아보려고 합니다.

실제로 빛의 속도가 얼마일지에 대한 궁금증은 예전부터 있어왔습니다.

그래서 이를 알기 위해 갈릴레이는 조수를 데리고 산을 오릅니다.
중학교 물리에서 처음 배우는 거리=속도*시간 공식을 떠올려 봅시다.
갈릴레이는 이러한 관계를 이용하려고 합니다.
거리를 알고 걸리는 시간을 안다면 속도도 계산할 수 있으리란 생각이었죠.

그래서 조수에게 가림막이 있는 등불을 주고 자신도 똑같이 등불을 가지고 반대편 산을 오릅니다.
조수가 가림막을 치워 불을 비추는 순간 갈릴레이는 이 빛을 보게 되고 갈릴레이도 가림막을 치우면 걸리는 시간을 측정할 수 있고 속도도 측정하리라 생각했죠.
하지만, 실패합니다.
빛의 속도는 매우 빠른 것에 비해 사람의 반응은 비교적 느리기 때문에 이런 방법으로 측정은 어려웠습니다.

하지만, 사람들의 도전은 계속됩니다.

이후 덴마크의 천문학자인 뢰머가 목성의 위성이 목성 뒤로 숨는 주기가 지구가 공전하면서 목성과 멀리 떨어질 때와 가까워질 때의 주기 차이가 발생함을 알고 이 시간 차이와 거리 차이를 사용해 빛의 속도를 구하려는 시도를 합니다.
이때 구한 값은 약 0.76c 정도의 빛의 속도에 해당합니다. (c=3*108m/s)
오차가 매우 크지만 뭐 그래도 처음으로 유한한 값을 가짐을 알 수 있는 결과였습니다.

이 방법 말고도 많은 실험이 있었습니다만 여기에 대한 소개는 생략하겠습니다.

왜냐하면, 빛의 속도에 가까운 값들을 구한 실험들이었지만 아직 우리는 빛의 속도가 일정한지에 대한 답을 구하지 못했기 때문입니다.

사실, 빛의 속도가 일정하냐에 대한 의문보다는 빛이 입자냐 파동이냐에 대한 논쟁이 매우 많았습니다.
고등학교 교육과정에서 우리는 빛의 입자적인 특성 그리고 파동적인 특성을 배우며 이중성을 가졌다는 모호한 답을 배웁니다.

우리는 양자역학이라는 개념을 통해 이중성을 인정하고있죠.
하지만, 뉴턴 시대 당시에는 이러한 논쟁이 활발할 때입니다. 도대체 정체가 무엇이냐?였죠.

이때 뉴턴의 빛의 특성에 관한 가설은 에테르라는 매개 물질을 주장합니다. 이 이론은 당시 우주 공간의 중력을 설명해주었기에 타당하게 받아들여졌습니다.

이 에테르라는 물질은 우주 공간에 일정한 방향으로 흐르고 있고 빛의 파동성을 설명하기 위해 필수적으로 존재해야 믿어지는 물질이었습니다.

그래서 사람들은 에테르의 존재를 증명하기 위해 노력하였습니다.
대표적인 실험이 여기서 등장하는 마이켈슨-몰리실험입니다.

이 실험은 에테르가 일정하게 흐르고 있다면 태양을 중심으로 원운동을 하는 지구는 에테르의 방향과 일정할 수도 있고 반대의 방향일수도 있으며 수직일 수도 있습니다. 이러한 이유로 에테르 바람이라는 것이 생길 것이며 각 방향에서 오는 빛의 속도는 차이가 날 것으로 생각이 되었습니다.
이러한 차이는 빛의 특성인 간섭이 생기게 될 것으로 보였고 마이켈슨-몰리는 이러한 예상되는 간섭현상을 측정하기 위해 정교한 간섭계 실험 장치를 제작합니다.
하지만, 실험결과는 대실패였습니다.

간섭은 기대값에 한 참 못 미치는 작은 값이었고 이들의 실험 결과는 애초의 목적과 달리 에테르의 존재를 부정해버리는 실험결과를 만들었습니다.

이렇게 실험적으로 빛의 속도가 일정함을 알게 되었습니다.
이때 사용한 간섭계는 실험 결과는 실패였지만 이 실험 장치에 의해 노벨상도 받았으며 후에 중력파를 검출하는 장비로 발전하게 됩니다.

그리고 마지막으로 전자기학에서 맥스웰에 의해서 빛의 속도는 일정함이 수학적으로 증명이 됩니다.
이 증명은 다음 포스팅에서 이어가도록 하겠습니다.

예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.

저번 포스팅에서 좌표계의 필요성과 관성계 비관성계의 차이를 알아보았습니다.
그렇다면 오늘은 좌표변환이라는 개념을 알아보겠습니다.

좌표변환이란 무엇일까요?

좌표를 변환한다… 좌표를 우리가 운동하는 대상을 편리하게 서술하기 위한 도구라고 했었으니 이를 변환한다는 것은 이 기준을 바꾼다는 뜻이 됩니다.

그럼 이러한 좌표변환을 왜 쓸까요?

간단하게 예를 들어보죠.
회전하는 물체가 있을 때 이 회전하는 물체는 저번 시간에 말했듯이 우리가 보는 관찰자 입장에서 이 운동을 서술하기에는 조금 복잡해집니다. 하지만, 회전하는 대상의 기준에서 운동을 서술하면 조금 더 쉬워질 겁니다.

혹은 똑같은 속도로 달리는 버스를 생각해봅시다.
저와 여러분은 버스를 탑승했고 저는 자리에 앉았습니다. 같은 버스를 탑승한 여러분은 저와의 거리가 얼마인지 쉽게 설명할 수 있습니다.

한편 제가 버스를 탑승했지만 여러분들은 버스를 놓쳤다고 합시다. 버스가 달리는 것을 보고 있던 여러분은 버스에 앉아있는 저를 설명하기 위해 버스가 얼마로 가고 있다고 말해야 합니다.

하나의 (관계)식이 늘어났죠.
이러하듯 좌표변환은 우리가 보는 대상의 운동은 관찰자의 시점이 바뀐다고 바뀌는 것이 아니므로 그 운동에 대응하는 변화가 좌표변환에 적용돼야 합니다.

이때 대상이 관성계에서 관성계로 변환하는 등속도의 상황이 있을 때 이러한 변환을 갈릴레이 변환이라고 합니다.

갈릴레이 변환은 대상이 등속도로 움직일 때 그 대상의 기준으로 대상에 붙어있는 계와 관찰자의 시점에 붙어있는 계 사이의 관계를 나타냅니다.
즉, t=0인 상황에서는 두 좌표계가 같고 시간이 지나더라도 v의 등속도에 의한 차이만 존재할 뿐 두 좌표계에서 바라보는 물리는 변하지 않습니다.

한편, 만약 버스가 가속을 하고 있다면 우리 몸이 뒤로 쏠리는 것처럼 관성력이 작용하며, 이때는 관성계가 아닌 비관성계로 갈릴레이 변환을 적용할 수 없습니다.
그래서 우리는 등속도인 상황만 보겠습니다.

우선 1차원을 기준으로 구해보면 다음과 같습니다.
거리=속도*시간이고 시간(t)은 좌표계간 변화없이 똑같이 흐릅니다.

X’계는 X계로부터 t시간 후 vt만큼 멀이지게 되니까 X’에서 본 대상은 X계가 본 위치에서 vt만큼 빼준값이 됩니다.
직관적으로 생각해봅시다.

X계에 정지한 누군가와 X’계에 누군가가 서로 전화를 하고 있다고 생각해보세요.
그리고 저는 달리는 버스안에 탑승했고 이 버스는 50m/s의 등속도로 x계를 기준으로 멀어지는 방향으로 달립니다.
저는 뒤에서 두번째 자리에 앉아있고 통화를 하면서 저의 위치를 설명한다고 합시다.
그럼 먼저 X계에 서있는 누군가가 저의 위치를 설명합니다.
그러니까 저는 50m/s로 멀어지는 버스안에서 뒤에서 두번째 자리에 앉아있어! 라고 말할 수 있습니다.
맞죠?
한편, 같은 버스안에 탑승한 통화하고 있던 대상은 이렇게 말합니다.
음… 내눈에는 말이지… 뒤에서 두번째 자리에 앉아있는 너가 보여! 라고 말이죠.

즉, 같은 계(X’) 계에 있는 대상입장에서는 X계에서 설명한 위치 값에서 vt만큼의 이동한 값을 빼주면 될 겁니다.

이러한 결과는 반대의 상황에서도 통합니다.
이번에는 제가 달리는 버스 안이 아니라 내렸다고 합시다.
그럼 어떻게 설명할 수 있을까요?
똑같습니다. X’계 입장이 X계라고 생각하며 X계가 반대방향으로 간다고 생각하면 됩니다.
이렇게 생각하면 다음과 같이 나오게 됩니다.

즉, 결론은 좌표를 변환하는 것은 상대적인 표현일뿐이다.

이러한 결과를 3차원 공간에서 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

위 식에서 A‘계에서 발생한 사건과 A계에서 발생한 사건이 일정한 관계가 있음을 어떠한 행렬로 설명합니다.
이 행렬을 갈릴레이 변환행렬이라고 하며 우리가 사는 모든 고전 상황에서는 이 변환 행렬을 사용할 수 있습니다.

다만, 특수상대론에서는 이 변환관계를 사용할 수 없습니다.

그럼 왜 이렇게 열심히 설명했냐구요?

다 쓸모가 있습니다..!!

특수상대론에서 사용하는 로렌츠 변환행렬은 이 갈릴레이 변환행렬을 수정하여 적용하기 때문입니다.
그래서 알아야만하죠.

그럼 왜 이 갈릴레이 변환을 사용할 수 없을까요?

자, 우리 모두가 아는 사실이 하나 있습니다.
빛의 속도는 ?
일정하다 입니다.
30만km/s로 말이죠.
빛은 이보다 빠를 수는 없습니다.
이것은 사실 아주 크나큰 화제거리였습니다. 뉴턴시대만 하더라도 빛의 속도는 일정하다고 생각을 못했었고 나중에 여러 실험들로부터 빛의 속도가 일정하다는 것이 증명되었습니다.
이내용은 다음시간에 다루도록 하겠습니다.

다시 본론으로 들어와 빛은 30만km/s를 넘을 수 없습니다.
그래서 갈릴레이 변환은 치명적인 문제점이 발생합니다.

관성계에서 관성계로의 변환일 때 각각의 관성계에서는 우리가 아는 물리법칙이 똑같이 적용이 되어야 합니다.
그런데 예를 들어 20만km/s로 멀어지는 우주선이 있다고 합시다. 그리고 다시 이 우주선에서 20만km/s의 속도로 미사일을 발사했다고 가정해봅시다.

갈릴레이변환은 상대적이니까 정지한 사람입장에서 본다면 두개의 속도를 합산한 결과로 멀어져야 할 겁니다.

그럼 지구에서 이 미사일을 관측하면 갈릴레이 변환을 따라가면 40만km/s의 속도로 멀어져야 합니다.

그런데 30만km/s의 속도를 넘을 수 있을까요?
이것은 불가능합니다.

따라서 만약 속도가 일정 속도 이상 올라가면 갈릴레이 변환을 사용할 수 없음을 알 수 있습니다.

그래서 우리는 새로운 변환을 도입할 겁니다.

그러나 이 도입을 소개하기 전에 어떻게 빛의 속도가 불변인 것인지 잠시 알아보고 넘어가도록 하겠습니다.

예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.

특수상대성이론에 대해 소개하기 앞서 오늘은 좌표계에 대해서 소개해드릴까 합니다.

여러분은 좌표라고 하면 어떤 것부터 떠오르시나요?
지도의 위도 경도 이런 것이 떠오르나요?

우리의 삶은 어떻게 보면 좌표로 규정된 삶에서 살아가고 있습니다.
배달음식을 시킬 때 좌표값(주소)이 없다면 배달원과 20고개를 해야 할지도 모릅니다. 또한 운송분야는 상당히 다루기 어려운 분야가 될 겁니다.
이뿐만이 아닙니다. 항공기의 이용이 어려울 것이며 인공위성을 사용한 여러 편의 기능도 불가능합니다.

이처럼 좌표라는 것은 우리의 삶에 있어 중요한 도구입니다.

이러한 좌표계는 우리의 일상생활 속에서는 좌로 얼마 우로 얼마 높이 얼마와 같이 직사각형 모양의 계(공간)로 정의합니다.
우리의 눈에 보이고 이를 아주 쉽게 정의할 수 있기 때문이죠.

하지만, 우리가 사는 공간이 어항 속의 물고기처럼 둥그런 세상이라면 어떨까요?
우리 앞으로 펼쳐지는 세상은 구형이며 직각으로 이루어진 직사각형모양의 직각좌표계로는 설명하는데 힘이 들겁니다.
물론 사용은 가능하겠지만 여기서 세워지는 운동방정식과 법칙들은 복잡해 보일 수 있습니다.

이러한 상황에서는 구 좌표계와 같은 그 공간에 맞는 좌표계를 사용합니다.
실제 지구의 크기에서는 지구는 공 모양이며 지구와 인공위성과의 관계를 나타날 때는 구좌표계가 훨씬 편리할 겁니다.

즉, 제가 하고싶은 말은 좌표계라는 것은 우리가 어떠한 운동을 설명하기 위해 아주 편리한 도구라는 겁니다.

그래서 보통 사용되는 좌표계는 우리의 일상생활속에서 사용하는 직각좌표계와 구형의 공간에서 사용되는 구좌표계 그리고 원통의 공간에서 사용하는 원통 좌표계가 대표적입니다.

그런데 제가 오늘 소개할 내용은 이러한 좌표계가 아닙니다.
특수상대성이론에서의 관심은 좌표계가 관성계이냐 아니냐이기 때문입니다.

적어도 한번쯤은 뉴턴의 법칙은 들어보셨다고 생각합니다.
F=ma와 같은 공식 말이죠.

뉴턴의 법칙은 총 3가지 법칙이 있습니다.
제 1 법칙 : 관성의 법칙
물체에 외부 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 움직인다.
->열심히 달리던 사람이 돌부리에 걸려 넘어지는 이유가 이 법칙입니다.

제 2 법칙 : 가속도의 법칙
아까 위에 적은 식 F=ma가 이 가속도의 법칙입니다.

제 3 법칙 : 작용 반작용의 법칙
->얼음위에서 서로 밀면 각각 밀리는 이유입니다.

이러한 뉴턴의 법칙 중 제 1 법칙인 관성의 법칙이 성립하는 좌표계를 관성 좌표계라 합니다. 즉, 등속도 운동을 하는 좌표계를 말합니다.
반면 비관성계는 가속운동을 하는 계를 말합니다.
그래서 자유낙하를 하고 있는 엘리베이터나 현재 우리가 살고 있는 지구는 비관성계입니다.
가속운동을 하고 있기 때문이죠.

오늘 소개한 이 관성계와 비관성계는 앞으로 소개하는 상대론에서 사용될 개념입니다.
특수상대론에서는 관성계를 다룰 것이고 일반상대성이론에서는 비관성계에서의 상대론을 다루는데 우리는 특수상대론을 다룰 것이니 앞으로 관성계에서의 운동을 다룹니다.

그리고 다음 시간에 다루겠지만 좌표변환이라는 개념이 있습니다.
좌표를 변환한다…
우선 왜라는 질문부터 나올 겁니다.

좌표를 변환하는 이유는 간단합니다.

우리를 고생시키기 위해서? 는 절대 아니겠죠.

대상의 운동을 더욱 쉽게 풀어쓰기 위해 좌표를 변환합니다.

여기에 대한 내용은 다음 시간에는 갈릴레이 좌표변환과 함께 다루어보겠습니다.

예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.

본격적으로 상대론에 대해 이야기 하기 전에 특수상대론과 일반상대론이 무엇인지 알아두고 가도록 하겠습니다.

우선 정의부터 볼까요?
위키백과에 따르면 특수 상대성이론이란 빛의 속도에 견줄 만한 속도로 움직이는 물체들을 다루는 역학 이론이라고 나옵니다.
한편 일반 상대성이론이란 중력을 상대론적으로 다루는 물리 이론이라고 나옵니다.

즉, 이 두개는 이름만 상대론이지 접근법이 완전 다릅니다.
하나는 빛의 속도로 갈 때 어떻게 될까이고 하나는 중력의 영향에 따라 어떻게 될까를 다루는 것이죠.

우리는 이 두가지 현상에 대해 실제 지구에서 직간접적으로 관측이 가능합니다.
특수상대성이론은 실생활에서는 우리가 느낄 수 없지만 검출기를 사용하면 알 수 있는데요. 뮤온이라는 기본입자가 있습니다. 이 입자의 수명은 매우 짧아 2.2μs입니다. 마이크로초면 10-6초라는 것이고 백만분에 2초만에 붕괴한다는 겁니다.
이렇게 수명이 짧은 뮤온은 우주선(cosmic ray)로부터 지구로 입사하면서 생기고 지구로 입사하는데 걸리는 시간이 우리 입장에서는 2.2μs보다 깁니다. 그런데 신기하게도 이 뮤온은 지구의 지표면에서 검출됩니다.
검출이 되는 이유는 뮤온이 빛의 속도에 가깝게 움직으고 시간이 지연되어 뮤온입장에서의 2.2μs가 우리한테는 이보다 훨씬 긴 시간에 해당되어 우리 입장에서는 이미 붕괴했을 뮤온이 도착하게 됩니다.
그럼 뮤온 입장에서는 더 멀리 가는 거냐고 반문하실 수도 있겠습니다만 이것은 로렌츠수축이라는 개념으로 설명하는 것이 더 편한데 나중에 천천히 설명하도록 하겠습니다.

한편 일반상대성이론은 우리가 일상생활에서 사용하고 있습니다.
바로 GPS인데요. 우리가 사용하는 GPS는 인공위성에서 구형인 지구의 위치좌표를 인지하고 이를 GPS 수신기로 통신하며 위치를 정해줍니다.
이러한 GPS를 사용할 때 우리의 위치를 정확히 특정하기 위해서 적어도 3개정도의 인공위성으로부터 온 GPS신호를 분석해 동시에 거리에 따른 오차를 보정해 정확한 위치값을 결정해주게 되는데 이때 중력퍼텐셜에 따른 시간차이를 보정해주어야 합니다.
이를 보정해주지 않는다면 GPS는 엉뚱한곳을 가르쳐줄겁니다.

이 세상은 무엇으로 이루어져 있을까?

우리가 사는 세상은 입자의 세상입니다.

크게 페르미-디락 통계를 따르는 입자와 보스-아인슈타인 통계를 따르는 입자로 나눌 수 있습니다.

페르미-디락통계를 따르는 입자는 같은 상태로 존재하지 않는 입자를 말합니다. 파울리 배타원리를 따르는 입자라고도 합니다.

같은 상태로 존재하지 않는다는 것은 다른 특징을 가졌다고 볼 수 있습니다.

두 사람을 보고 비교할 때 키, 몸무게, 성별, 얼굴 등으로 두 사람을 비교할 수 있습니다. 절대 완전히 똑같은 사람은 없습니다.

이처럼 상태가 다른 입자들을 같은 상태로 존재하지 않는다고 할 수 있습니다.

양자역학에서는 이것을 양자수가 다르다고 말합니다.

이 양자수는 주양자수, 궤도양자수, 자기양자수, 스핀양자수가 있습니다.

각각의 개념을 다 설명하기에는 글이 길어집니다.

그냥 상태를 구별하는 특징이라고만 이해하고 넘어가도록 하겠습니다.

여기서 모든 양자수가 같은 상태라면 구별하기 위해서는 스핀양자수만큼은 달라야 합니다.

이런 표현을 사용해도 되는지 모르겠지만 주양자수에서 자기양자수까지의 양자수 상태는 구별하기 쉬운 특징이라고 보면 됩니다. 얼굴, 키, 체형 등입니다.

그럼 겉으로 구별하기 어려운 일란성쌍둥이가 있는데 완전 똑같이 생겨 구별할 수 없다고 하겠습니다. 이 경우는 겉으로 봐서는 구별하기 힘듭니다.

그런데 한 명은 점이 있고 한 명은 점이 없다고 하면 이것으로 구별을 지을 수도 있겠죠.

제대로 된 예시는 아니지만 페르미-디락 통계에 따르는 입자는 다른 양자수가 같다면 스핀양자수가 달라야 합니다.

이 페르미-디락 통계를 따르는 입자를 페르미입자라고 하며 우리가 아는 거의 모든 입자가 이 페르미입자입니다.

페르미입자는 반정수의 스핀양자수를 가지며 가장 기본입자인 쿼크와 렙톤이 이 페르미입자입니다.

한편, 보스-아인슈타인 통계는 열적 평형상태에서 식별 불가능한 보스 입자의 통계적 분포를 결정하는 통계입니다.

즉, 보스-아안슈타인 통계를 따르는 입자는 입자를 구별할 수 없는 상태입니다.

즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있다는 것을 알 수 있습니다.

그렇기에 이 통계를 따르는 입자인 보손은 정수배의 스핀양자수를 가집니다.

광자의 경우에는 1, 힉스의 경우 0의 스핀양자수를 가집니다.

이 보손입자에는 광자, 글루온, W,Z 보손, 힉스 보손이 있습니다.

즉, 힘을 매개하는 입자 그리고 질량을 매개하는 입자입니다.

또한 페르미입자는 쿼크와 렙톤으로 양성자, 중성자, 전자가 페르미입자임을 알 수 있습니다.

맥스웰 방정식은 4개의 편미분 방정식입니다. 

가우스 법칙, 가우스 자기 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙으로 구분됩니다. 

학교에서 전자기학을 배우면 클롱의 법칙부터 전기장유도, 전위에 대한 개념, 자기장에 대한 개념 등을 유도하고 

물질 속에서는 또 어떠한지 배웁니다. 그리고 고전역학에서 전자기학적 접근인 패러데이 법칙과 앙페르 회로 법칙을 배우게 되는데 

맥스웰 방정식은 여기에 상대론적 효과까지 고려하고 내용을 정리한 것을 4개의 편미분 방정식으로 나타낸 것이라 볼 수 있습니다. 

즉, 맥스웰 방정식의 각 방정식을 이해하고 의미를 파악한다면 전자기학에 대한 이해도는 어느 정도 있다고 볼 수 있습니다. 

각 방정식의 의미를 살펴보겠습니다. 

가우스 법칙

전하에 의해 발생되는 전기장의 크기를 말하는 법칙

이 법칙은 기본적으로 클롱의 법칙으로부터 나옵니다. 

클롱의 법칙이 점전하 사이에서 발생하는 힘에 대한 설명이라면 가우스 법칙은 하나의 전하로부터 발생하는 전기장에 대한 설명입니다.

즉, 전기장에 대한 설명입니다. 

간단히 살펴보자면 공간상에 아무것도 없는 상태에 점전하가 놓이면 이 점전하로부터 전기장은 발산해 나갑니다.

발산해 나가는 전기장의 세기는 오로지 점전하의 전하량에 달려있습니다. 

다시 말해, 점전하가 안에 있는 폐곡면을 그렸을 때 폐곡면을 통과하는 전기선속은 안의 알짜 전하량과 같다는 이야기입니다. 

공안에 100개의 구슬이 들어있을 때 구멍을 뚫어 꺼낸다고 했을 때 갑자기 101개, 99개가 되지 않는다는 것입니다.

가우스 자기법칙 

위 가우스 법칙을 똑같이 자기장의 관점에서 본 법칙입니다. 

공간상에서 자기장은 발산하지 않습니다. 

폐곡면을 그렸을 때 이 폐곡면 안에 N, S 두 극이 있다면 자기장은 이 폐곡면을 뚫고 나가지 않습니다. 

하나의 극에서 나온 자기력선은 다른 극으로 들어가고 들어가지 않는 자기력선은 없기 때문입니다. 

따라서 폐곡면을 그렸을 때 나간 자기력선만큼 들어온다고 볼 수 있습니다. 

뚫고 나가려면 폐곡면 밖에 다른 극이 필요합니다. 

즉, 자기홀극자는 존재하지 않는다는 이론입니다. 

패러데이 전자기 유도 법칙

이 법칙은 우리가 전기를 사용할 수 있는 이유입니다. 화력, 원자력, 풍력 등 발전원리입니다. 

자기선속이 변화하면 그 주변에 전기장이 발생한다는 법칙입니다. 

이 말은 자기선속이 변하면 전기장이 변하고 그럼 유도전류가 생길 수 있다는 이야기입니다. 

이런 원리를 이용해 고리 모양의 도선을 만들어 회전을 시키면 회전함에 따라 들어오는 자기선속이 변하게 되고 

이를 이용해 교류전류를 발전소에서 생산할 수 있습니다. 

앙페르-맥스웰 회로 법칙 

기존의 앙페르 법칙은 전류가 흐르는 도선에 자기장이 생긴다는 법칙입니다. 

그래서 중학교 과학 시간에 전류가 흐르는 방향으로 엄지손가락을 놓고 손을 감아 감는 방향으로 자기장이 발생한다는 

앙페르 오른손 법칙을 많이 이용합니다. 

이 앙페르 법칙은 정자계에서 성립합니다. 

정자계라는 것은 시간에 의존하지 않는 정지한 상태를 말합니다. 즉, 정상전류 상태임을 말합니다. 

하지만 전류가 변화할 때는 앙페르 법칙은 수정되어야 합니다. 

그래서 수정을 하였고 전기장의 변화에 관한 항이 추가가 되었습니다. 

하지만, 전하의 움직임이 빛의 속도에 준하는 빠른 속도이기 때문에 상대론적으로 고려해야 합니다. 

그렇기에 추후에 상대론에 의해 이 식은 수정이 됩니다. 하지만, 이 식은 우리가 풀고자 하는 전자기학 문제를 

해결하는데는 문제가 없습니다. 

“해당 포스팅에 사용한 이미지는 구글 이미지임을 알립니다.”

빛이 입자냐 파동이냐의 논란은 양자역학 이론으로 발전했다.

양자역학에서 입자는 파동성을 가지기 때문에 입자의 위치는 파동확률함수로 나타낸다.

즉, 입자의 정확한 위치를 특정하지 않고 확률적으로 나타낸다.

그렇다면, 입자의 위치를 관측한다면 그 입자의 위치를 관측하기 직전 그 입자는 그 위치에 있었는가 아니면 다른 위치에 있었는가? 라는 질문을 가지게 된다.

양자역학이 확립되기 전에 과학자들은 이 질문에 대해 많은 의견이 갈렸었다.

크게 3가지의 의견으로 나누어졌었다.

사실주의적 입장

그 입자는 측정 직전에 그 위치에 있었다.

아인슈타인이 주장했던 의견이다.

“저 달이 내가 바라보고 있지 않을 때는 존재하지 않는다는 것을 어떻게 믿으란 말인가” 아인슈타인이 했던 유명한 말이다.

아인슈타인은 모든 과학적인 사실은 수학적 증명을 통해 해답을 찾을 수 있다고 생각했기 때문에 확률분포를 이용한 입자의 운동방정식을 받아들일 수 없었을 것이다.

그래서 우리는 아인슈타인조차 받아들이지 못한 양자역학이라는 말을 하고는 한다.

아인슈타인을 비롯한 사실주의자들은 결정을 못 하는 것은 원래 그런 것이 아니라 우리가 운동을 기술할 변수를 찾지 못한 것이라 생각하였다.

하지만, 근본적으로 입자의 위치가 정해져 있다면 양자역학 자체는 틀린 이론이 된다. 입자의 위치가 정해져 있지만 양자역학으로 실제 위치를 확인할 수 없기 때문이다. 따라서, 양자역학이 맞다면 이 주장은 틀린 주장이 된다. 지금 현재까지는 양자역학이 맞다고 보고 있으니 이 주장은 틀렸다고 볼 수 있다.

정통주의적 입장

그 입자는 실제로 아무 곳에도 없었다.

입자가 어느 위치에 있을지를 결정한 것은 관측행위 그 자체라고 주장하는 입장이다.

이 주장은 코펜하겐 해석이라고 불린다.

이 주장이 지금 현재 가장 널리 받아들여지고 있다.

따라서 불확정성 원리에서 위치를 정했을 때 그 위치는 원래 정해져 있지 않았다라고 말할 수 있다.

위치가 정해져 있지만 관측이라는 행위를 통해 위치가 바뀐다? 이런 식의 설명은 잘못된 설명이다.

불확정성 원리를 설명하다 보면 위치와 운동량을 동시에 알 수 없다고 하면서 측정이라는 행위를 함에 있어 빛이나 입자의 충돌을 통해 알아야 하고 이 과정에서 위치와 운동량이 변화한다는 것은 맞는 말이지만 이것에 의해 위치를 알 수 없다는 설명은 잘 못된 것이고 원래 위치를 알 수 없다가 맞는 말이 되는 것이다.

불가지론적 입장

답하지 않겠다.

입자의 상태에 관해서 알기 위해서는 측정을 해야 하는데 측정을 하고 나면 측정 이전 상태라는 것은 더 이상 존재하지 않는데 무슨 의미가 있냐는 입장이다.