예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.
빛의 속도가 일정함을 저번 포스팅에서 실험적으로 알아냈음을 소개해드렸습니다.
오늘은 전자기학에서 어떻게 이 빛의 속도가 유도되었는지 알려드리겠습니다.
시작하기에 앞서 수식이 조금 많이 등장할 수 있다는 점 미리 말씀드립니다!!
사실, 처음에는 전자기학은 빛과 다르다고 사람들은 생각했었습니다.
전자기학에서 다루는 것은 파동이었고 빛은 입자냐 파동이냐는 논의가 있었으니깐요.
하지만, 전자기파는 곧 빛이고 빛은 곧 전자기파입니다. 그렇기에 전자기학에서 유도한 전자기파의 속도는 곧 빛의 속도임을 의미했습니다.
따라서 지금부터 전자기학에서 어떻게 전자기파의 속도를 구했는지 같이 알아보겠습니다.
우선, 파동방정식을 구해야 합니다. 파동방정식이라는 것은 파동함수가 만족하는 방정식입니다.
파동함수는 어떠한 공간에서 시간과 파의 높이로 설명이 되는 파동을 말합니다. 이러한 파동함수는 운동을 하게 된다면 물리법칙을 만족해야 하며 이를 만족하는 방정식이 파동방정식입니다.
그럼 어떠한 파동함수가 있을 때 이 파동함수가 일정한 속도로 움직인다고 합시다. 일정한 속도로 움직인다면 t만큼의 시간이 흘렀을 때의 파와 t만큼 시간의 전의 파는 vt만큼의 이동거리를 빼주면 정확히 일치하는 동일한 파입니다.
식으로 나타낸다면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. (수필로 쓴 수식이라 보기가 조금 불편할 수 있어요ㅠ)
f(z,t)=g(z-vt,0)
위 식에서 알 수 있듯이 파동함수는 위치 값인 z와 시간 값인 t로 서술됩니다. 파동함수는 다음의 과정에 따라 파동방정식이 유도됩니다. 우선, z-vt를 u라는 임의의 값으로 두고 다음과 같이 z와 t에 대해서 각각 편미분 합니다.
그리고 한 번 더 미분을 해주면 다음과 같은 관계를 가짐을 알 수 있습니다.
여기서 나오는 이 관계가 파동방정식이며 양자역학과 전자기학에서 두루 쓰이는 중요한 식입니다.
더불어서 만약, 어떤 파동 함수가 있을 때 여기에 작용하는 net force를 기준으로 본다면 다음과 같이 파동방정식을 구할 수 있습니다.
처음 나타나는 그래프는 파동의 어떤 평형점을 기준으로 z가 변함에 따라 나타나는 알짜힘의 변화를 보여줍니다.
일부 부분을 보았을 때 그 부분에서 반대 부분으로 작용하는 장력이 존재할 것이고 세타가 매우 작으니까 sin과 tan값이 비슷해집니다. 그런데 tan값은 그 부위에서의 기울기이고 두 부위에서의 기울기 값을 빼는 변화량은 기울기의 변화량이니깐 f의 z에 대한 이계 도함수로 나타낼 수 있습니다.
또한 여기서 작용한 F는 뉴턴의 제 2법칙에 의해 F=ma로 나타낼 수 있습니다. 여기서 질량은 μ와 ∆z의 곱으로 나타내는데 μ값은 단위길이당 질량으로 ∆z를 곱하게 되면 전체 질량임을 알 수 있습니다. 또한 가속도 a는 파동함수를 시간에 대해 두번 미분한 값이므로 식의 값처럼 구하게 됩니다. 이러한 관계를 확인하면서 앞서 유도한 파동방정식이 파동식과 잘 맞아들어감을 알 수 있습니다.
그럼, 이번에는 전자기파를 기준으로 구해봅시다.
전자기학에서 가장 중요한 식이라 할 수 있는 맥스웰 방정식 4개가 있습니다. 해당 식은 진공이며 공간에 전하가 없을때의 맥스웰 방정식입니다.
모두 각각에 대해서 하나씩 가지는 의미가 많고 중요하기 때문에 설명할 이야기들이 많은 관계로 자세한 설명은 생략하고 각각의 기호가 가지는 뜻은 다음과 같습니다.
∇∙A는 divergence라고 하며 발산하는 정도를 말합니다. 즉, 위 식에서 이 발산하는게 0이라고 했으니 전기장과 자기장이 발산하는 값이 없다는 뜻입니다.
당연히 공간에 전하가 없으니 나아가는 전기장과 자기장은 없다는 것을 직감할 수 있습니다. 물론, 자기장은 원래 발산하지 않습니다.
한편, ∇×A는 curl이라하며 벡터의 회전하는 정도를 말합니다. 이 컬이라는 것의 결과는 각각에 수직한 전기장 혹은 자기장값의 변화량으로 구해집니다.
참고로, ∇×E의 관계가 페러데이 법칙, ∇×B의 관계가 암페어 법칙입니다.
어쨌든, 각각에 대해 위 그림에서와 같이 구하면 파동방정식꼴의 결과를 구할 수 있습니다. 그럼, 오른쪽항의 μ0, ε0는 속도와 관계되는 값임을 예상할 수 있습니다. (위에서 구한 파동방정식 식과 비교)
각각의 값들은 위의 상수값이므로 전지기파의 속도는 다음과 같이 30만km/s임을 알 수 있습니다.
이로서, 실험적으로 구한 빛의 속도와 이론적으로 구한 전지기파(빛)의 속도가 일치함을 확인하였습니다.
저번 포스팅과 이번 포스팅까지해서 빛의 속도와 불변성을 알아 보았습니다. 다음 포스팅에서는 갈릴레이 변환을 수정하는 과정에 대해 살펴 보겠습니다.
예전에 스팀잇이라는 곳에서 포스팅한 내용인데 지금은 활동하지 않아서 티스토리로 옮겨둡니다.
오늘 상대론 이야기를 계속 이어가도록 하겠습니다.
저번 포스팅에서 갈릴레이 좌표변환을 설명하면서 우리는 관성계와 관성계 사이의 변화를 다루는 특수상대론을 앞으로 다룬다고 예고했습니다.
그리고 빛의 속도는 절대 30만km/s보다 커질 수 없으며 항상 일정함을 이야기했었죠.
그런데 여기서 엄밀히 말한다면 빛의 속도가 항상 일정하다고만 말하면 틀린말이 될 수 있습니다.
앞에 한마디 더 붙여서 같은 매질에서는 속도가 일정하다고 해야 합니다.
즉, 매질이 변하면 다시 말해 진공에서 공기 속, 공기에서 물속, 혹은 공기에서 유리창을 투과하면서 속도는 줄어들게 됩니다.
우리가 말하는 30만km/s는 진공 속에서의 빛의 속도를 말하며 우주의 대부분이 실제 진공에 가깝기 때문에 우주 공간 속에서 빛은 거의 30만km/s로 일정합니다.
다시 본론으로 들어와, 왜 빛의 속도는 일정할까요? 이 질문에 대한 답은 전자기학으로부터 나옵니다.
그전에 오늘은 사람들의 빛의 속도를 알기 위한 노력들을 알아보려고 합니다.
실제로 빛의 속도가 얼마일지에 대한 궁금증은 예전부터 있어왔습니다.
그래서 이를 알기 위해 갈릴레이는 조수를 데리고 산을 오릅니다. 중학교 물리에서 처음 배우는 거리=속도*시간 공식을 떠올려 봅시다. 갈릴레이는 이러한 관계를 이용하려고 합니다. 거리를 알고 걸리는 시간을 안다면 속도도 계산할 수 있으리란 생각이었죠.
그래서 조수에게 가림막이 있는 등불을 주고 자신도 똑같이 등불을 가지고 반대편 산을 오릅니다. 조수가 가림막을 치워 불을 비추는 순간 갈릴레이는 이 빛을 보게 되고 갈릴레이도 가림막을 치우면 걸리는 시간을 측정할 수 있고 속도도 측정하리라 생각했죠. 하지만, 실패합니다. 빛의 속도는 매우 빠른 것에 비해 사람의 반응은 비교적 느리기 때문에 이런 방법으로 측정은 어려웠습니다.
하지만, 사람들의 도전은 계속됩니다.
이후 덴마크의 천문학자인 뢰머가 목성의 위성이 목성 뒤로 숨는 주기가 지구가 공전하면서 목성과 멀리 떨어질 때와 가까워질 때의 주기 차이가 발생함을 알고 이 시간 차이와 거리 차이를 사용해 빛의 속도를 구하려는 시도를 합니다. 이때 구한 값은 약 0.76c 정도의 빛의 속도에 해당합니다. (c=3*108m/s) 오차가 매우 크지만 뭐 그래도 처음으로 유한한 값을 가짐을 알 수 있는 결과였습니다.
이 방법 말고도 많은 실험이 있었습니다만 여기에 대한 소개는 생략하겠습니다.
왜냐하면, 빛의 속도에 가까운 값들을 구한 실험들이었지만 아직 우리는 빛의 속도가 일정한지에 대한 답을 구하지 못했기 때문입니다.
사실, 빛의 속도가 일정하냐에 대한 의문보다는 빛이 입자냐 파동이냐에 대한 논쟁이 매우 많았습니다. 고등학교 교육과정에서 우리는 빛의 입자적인 특성 그리고 파동적인 특성을 배우며 이중성을 가졌다는 모호한 답을 배웁니다.
우리는 양자역학이라는 개념을 통해 이중성을 인정하고있죠. 하지만, 뉴턴 시대 당시에는 이러한 논쟁이 활발할 때입니다. 도대체 정체가 무엇이냐?였죠.
이때 뉴턴의 빛의 특성에 관한 가설은 에테르라는 매개 물질을 주장합니다. 이 이론은 당시 우주 공간의 중력을 설명해주었기에 타당하게 받아들여졌습니다.
이 에테르라는 물질은 우주 공간에 일정한 방향으로 흐르고 있고 빛의 파동성을 설명하기 위해 필수적으로 존재해야 믿어지는 물질이었습니다.
그래서 사람들은 에테르의 존재를 증명하기 위해 노력하였습니다. 대표적인 실험이 여기서 등장하는 마이켈슨-몰리실험입니다.
이 실험은 에테르가 일정하게 흐르고 있다면 태양을 중심으로 원운동을 하는 지구는 에테르의 방향과 일정할 수도 있고 반대의 방향일수도 있으며 수직일 수도 있습니다. 이러한 이유로 에테르 바람이라는 것이 생길 것이며 각 방향에서 오는 빛의 속도는 차이가 날 것으로 생각이 되었습니다. 이러한 차이는 빛의 특성인 간섭이 생기게 될 것으로 보였고 마이켈슨-몰리는 이러한 예상되는 간섭현상을 측정하기 위해 정교한 간섭계 실험 장치를 제작합니다. 하지만, 실험결과는 대실패였습니다.
간섭은 기대값에 한 참 못 미치는 작은 값이었고 이들의 실험 결과는 애초의 목적과 달리 에테르의 존재를 부정해버리는 실험결과를 만들었습니다.
이렇게 실험적으로 빛의 속도가 일정함을 알게 되었습니다. 이때 사용한 간섭계는 실험 결과는 실패였지만 이 실험 장치에 의해 노벨상도 받았으며 후에 중력파를 검출하는 장비로 발전하게 됩니다.
그리고 마지막으로 전자기학에서 맥스웰에 의해서 빛의 속도는 일정함이 수학적으로 증명이 됩니다. 이 증명은 다음 포스팅에서 이어가도록 하겠습니다.
